Jeszcze o matematyce w szkole

2011-07-17T00:00:00Z

Zaczęło się od listu maturzystki opublikowanego przez Gazetę Wyborczą, zawierającego narzekanie na temat obowiązkowości matury z matematyki. Rozpętała się burza: przez Internet przetoczyła się fala krytyki, w większości odsądzającej autorkę od czci i wiary. Moja własna reakcja była nieco bardziej stonowana; parę dni temu odkryłem, że została również opublikowana przez Wyborczą razem z innymi opiniami.

A dziś, szukając zupełnie czego innego, natknąłem się przypadkiem na ten artykuł Paula Lockharta. I zgadzam się z absolutnie każdym słowem; w swoim liście próbowałem powiedzieć mniej więcej to samo, ale nie potrafiłem ująć tego ani w jednej dziesiątej tak dobrze.

Przeczytajcie ten artykuł. Teraz. Uważam, że jest lekturą obowiązkową dla obu stron barykady: i antytalentów matematycznych, i ludzi twardo broniących matury z matematyki w jej obecnym kształcie.

Informatyka jest gałęzią matematyki

2011-05-07T00:00:00Z

Claygirl pisze na blogu GeekGirls, że wbrew powszechnemu mniemaniu, informatyka to nie matematyka – i że informatykowi znajomość matematyki jest potrzebna w bardzo ograniczonym zakresie. Zdziwiłem się, bo jestem odmiennego zdania i zawsze wydawało mi się, że to właśnie pogląd, że informatyka jest częścią matematyki, jest w mniejszości... Zapewne jednak większość klepaczy kodu rzadko zadaje sobie to pytanie. Szkoda, bo warto stawiać fundamentalne pytania o to, czym w istocie jest to, czym się zajmujemy.

Temat jest mi bliski, postaram się więc w tym wpisie uzasadnić swoją opinię. Żeby móc sensownie odpowiedzieć na nasze pytanie, powinniśmy wpierw zdefiniować, co rozumiemy przez informatykę, a co przez matematykę. Zaczniemy więc od definicji encyklopedycznych.

Wikipedia dixit

Informatyka – dyscyplina naukowa i techniczna zajmująca się przetwarzaniem informacji, a w tym technologiami przetwarzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informacje.

Myślę, że większość z nas zgodziłaby się z takim opisem. Aplikacje webowe, bazy danych, systemy operacyjne... czymkolwiek się zajmujemy, zawsze ma to związek z przetwarzaniem informacji. A matematyka?

(Zanim zajrzymy do Wikipedii, zachęcam do pokuszenia się o własną definicję. Może to przyprawić o ból głowy, bo jak objąć kilkoma słowami całe to bogactwo abstrakcyjnych bytów, jakimi matematyka się zajmuje? Liczby, zbiory, klasy, relacje, funkcje, punkty, przestrzenie, formuły, kategorie...)

Matematyka – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania.

Ścisłość rozumowania i abstrakcje

Ta definicja w ogóle prześlizguje się nad owym bogactwem; jest szersza, bardziej pierwotna i może budzić sprzeciw. Zdaje się sugerować, że ilekroć myślimy o czymś – czymkolwiek – w sposób uporządkowany, zajmujemy się matematyką! A jednak wielu matematyków uważa, że to właśnie w myśleniu tkwi sedno ich dziedziny. Włodek Holsztyński ujmuje to w swoim świetnym eseju jeszcze zwięźlej:

Matematyka jest sztuką myślenia

Gdzie jednak przy takim podejściu postawić granicę pomiędzy matematyką a innymi naukami? Czy fizyka jest częścią matematyki, czy odrębną dziedziną wiedzy, która tylko korzysta z metod matematycznych? Wspominałem wcześniej o bytach abstrakcyjnych: wszyscy mamy mniej więcej zbliżone pojęcie na temat tego, czym jest liczba 7, mimo że taki obiekt nie istnieje fizycznie w otaczającym nas świecie. Wydaje się, że abstrakcyjność jest wpisana w naturę matematyki, i można ją dopisać do definicji. Wspomniany artykuł w Wikipedii zawiera inne próby zdefiniowania tej dziedziny przez sławnych matematyków, z których kilku o tym wspomina. Dirac: „Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji, i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie”.

A Poincaré mówi: „sztuka nadawania takich samych nazw różnym rzeczom”. Innymi słowy, zdolność dostrzegania podobieństw i abstrahowania od różnic. To jabłko jest czymś innym niż tamta gruszka, ale mają ze sobą coś wspólnego: liczność – tak zapewne brzmiało pierwsze, doniosłe odkrycie matematyczne.

Matematyka w szkole

...jest tylko drobnym wycinkiem wszystkich tych działów. To oczywiste, w końcu poświęca się jej ograniczoną ilość czasu. Ale za duży nacisk kładzie się na ich przedstawienie, a za mały na rozumienie. Nie jest ważne, żeby wiedzieć, ile jest siedem razy dziewięć. Ważne, żeby umieć w razie potrzeby się zastanowić i dojść do prawidłowej odpowiedzi. Rzadko pokazuje się dowody twierdzeń (i potem uczniowie panicznie boją się słowa „udowodnij”), a szkoda! Nie jest trudno zobaczyć, dlaczego twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe, albo dlaczego mnożenie liczb naturalnych jest przemienne. A tak właśnie ćwiczy się umiejętność myślenia.

A informatyka?

Clay pisze:

Ale całe dziesiątki poziomów abstrakcji wyżej siedzą sobie systemy operacyjne i maszyny wirtualne z którymi większość informatyków widuje się najczęściej. Informatyków – programistów języków wysokopoziomowych (takich jak Java, C#, Ruby, Python etc), którzy z matematyką muszą się znać tylko po to, żeby umieć myśleć logicznie i na przykład oszacować czas działania napisanego właśnie programu.

Już samo słowo „poziomy abstrakcji” kojarzy się z tym, o czym pisałem wcześniej. Oto mój program, mam w nim jakąś klasę.

public class Osoba {
    String imie, nazwisko;
    int wiek;
}

Ona modeluje jakiś obiekt rzeczywisty, ale sama w sobie jest równie abstrakcyjnym bytem jak liczba 7. Jest napisana w języku Java -- mogę sięgnąć po formalny opis jego gramatyki i semantyki i ściśle opisać, czym jest. I wreszcie, pisząc taki kod, pomyślałem o tym, co poszczególne osoby mają wspólnego i abstrahowałem od nieistotnych dla mnie różnic między nimi.

Czy nie tym właśnie zajmuje się matematyka? W jaki sposób mój program albo język programowania jest mniej obiektem matematycznym, niż trójkąt albo zbiór {4, 42}?

Nie we wszystkim jesteśmy dobrzy

Pomijając terminologię, trzeba się zgodzić z tezą artykułu Clay: fakt, że nie czujemy się mocni w jednej gałęzi matematyki (nazwijmy ją „licealną”), wcale nie musi oznaczać, że nie rozwiniemy skrzydeł w innej. Nikt nie jest omnibusem, nierozumienie czegoś nie jest powodem do wstydu. Srinivasa Ramanujan, bodaj największy geniusz matematyczny ubiegłego stulecia, wniósł gigantyczny wkład do teorii liczb i wielu innych dziedzin... ale nie miał zielonego pojęcia, co to jest funkcja zmiennej zespolonej!

Tak i my nie musimy tego wiedzieć, pisząc kod czy grzebiąc w bebechach systemu. Miejmy jednak świadomość, że w istocie uprawiamy matematykę, która jest sztuką myślenia – i cieszmy się tym.